【Nixon帶你玩數學】丨快速檢測可靠嗎？病毒與數學

    某個 K市最近出現了一個流行病，患者會出現頭暈、眼花、手腳酸軟、食欲不振等症狀， 而且這個疾病傳播性很強，導致 K市民人心惶惶。萬幸的是當地已有完善的快速檢測系統能夠分辨受檢者是否冇帶有病毒， 以便為初期患者及早治療。檢測結果只有陽性(Positive) 及陰性(Negative）。這個快速檢測相當先進，準確率達 99%。 即是假如受檢者帶病(Disease)，檢測結果有 99% 機會呈陽性；是假如受檢者並沒有病，是為健康(Well)， 檢測結果則有 99% 機會呈陰性。

    可是，即使有受檢者並沒有病毒，檢測結果仍有 1% 機會呈陽性，稱為假陽性(False-Positive)。 同理，帶病的受檢者亦有 1% 機會獲陰性檢測結果，是為假陰性(False-Negative)。 若有個未得疾病的人，卻在初檢時被誤檢為得病，他可能會感到苦惱煩悶，一直持續到更詳細的檢測顯示他並未得病為止。 若果我們把並非真正帶病的受檢者都送往醫院診治或者隔離，對醫療系統負擔和他們自身都有害無益。 相反，帶病卻被檢測為陰性的受檢者失去及早治療的機會，更可能在自己不察覺的情況下把病毒散播開去， 及後才發現自己原來是病者的話，不單止因延誤治療令健康受影響，亦可能擔心自己把病傳染給多人而倍感自責。 因此 假陽性 及 假陰性 同樣是該盡力避免的悲劇。

    可惜的是，世上不存在 100%準確的快速檢測方法，99% 準確度在現實生活中已經是極端地高的數字。 那麼問題來了：

Q.1
    假如一名K市市民接受了快速檢測，測試結果呈陽性(Positive)，他到底有多大機會其實只是被誤標的假陽性(False-Positive)個案？ 請選一個你認為正確的答案：

        A.     1%     (就是 1%，上面不就寫了？）

        B.     50%    (中或不中，50-50)

        C.     0.99%   (99% 中的 1%)

        D.     以上皆非，不能知道，生死有命，富貴由天

點我觀看解答（Q.1）

解答

首先，當然不是 D。
其餘選項中似乎 C 是最「似模似樣」⋯⋯ 但都是錯的。
那麼難道真是「大道至簡」，答案就是簡單直白的 A ？
若真結此，信我，我絕對不會費煞心神，花多晚時間做資料蒐集及修訂來撰寫這期的專欄。

在正式公佈答案前，讓我舉一個有具體數字的例子：

受檢者	陽性（Positive）	陰性（Negative）
帶病(Disease)	99 人	1人	共100人
健康(Well)	99人	9801人	共9900人
	共 198 人	共 9802 人	共 10,000 人

在此例子，共10,000名受檢者當中有 100人帶病(Disease)， 而當中 99位檢測呈陽性(Positive)，用概率語言表達的話便是：

P（Positive 陽性丨Disease 帶病）= ⁹⁹⁄₁₀₀ = 99%

同樣道理，

P（Negative 陰性丨Well 健康）= ⁹⁸⁰¹⁄₉₉₀₀ = 99%

兩者皆符合宣稱。但是，在被檢為 陽性(Positive) 的 198人 當中，有 99名受檢者其實 健康(Well)，即是 假陽性(False-Positive) 的百分比為

P（Well 健康丨Positive 陽性）= ⁹⁹⁄₁₉₈ = 50%

若把所有快速檢測呈陽性者都送往醫治或者隔離，我們「濫救無辜」的機會率高達一半！
所以答案是 B，每個陽性(Positive) 的檢測結果其實有一半機會是假陽性(False-Positive)？

難道真的是「收到收不到，只能靠彩數？」
可是先別急著要質疑所有檢測結果。事關在同一組數據中，反觀 假陰性(False-Negative) （測得陰性但其實帶病）的百分比為

P（Disease丨Negative）= ¹⁄₉₈₀₂ ≈ 0.01%

遠低於 P（Negative丨Disease）= ¹⁄₁₀₀ = 1%。有沒有立即對檢測的可靠性改觀？
用「人話」總結一下目前的資訊：

「若你的結果呈陰性，你基本上肯定 (約99.999%機會) 真的健康；
但若你的結果呈陽性，你只有一半機會真的帶病。」

陰性超級準、陽性只靠估，這是什麼鬼？原來是在數學界中非常出名的

Base Rate Fallacy 基本比率謬誤。

例：

99%帶病的受檢者能測出陽性：P(Positive | Disease) = 0.99 ，
但同時可以只有50% 陽性的受檢者確實帶病：P(Disease | Positive) = 0.5。

兩者結果差距甚遠的原因是在於其 分母（基數）的差異。畢竟在這個例子上真正帶病者相當少，只佔受檢者的 1%，才使準確值達 99% 的測試中的 1%誤差變得明顯。

那麼若果準確率維持 99%，但帶病人數變多20倍至2000人呢？

Q.2
    假如一名K市市民接受了快速檢測，測試結果呈陽性(Positive)，完成並利用下表，求其結果是假陽性(False-Positive)的概率。

受檢者	陽性（Positive）	陰性（Negative）
帶病(Disease)	2000 x 99% = 1980人	？	共2000人
健康(Well)	？	？ x 99%=？人	共？人
	共？人	共？人	共 10,000 人

點我觀看解答（Q.2）

解答

受檢者	陽性（Positive）	陰性（Negative）
帶病(Disease)	2000 x 99% = 1980人	2000 x 1% = 20人	共2000人
健康(Well)	8000 x 1% = 80人	8000 x 99%= 7920人	共8000人
	共2060人	共7940人	共 10,000 人

P（Positive丨Disease）= ¹⁹⁸⁰⁄₂₀₀₀ 繼續= 0.99，而P（Disease丨Positive）= ¹⁹⁸⁰⁄₂₀₀₀≈0.96 可靠性顯著提高。
假陽性 的概率= P（Well丨Positive）= ⁸⁰⁄₂₀₆₀≈0.388。
雖然仍有約 3.9% 機會，但跟 50% 比較是明顯改善了。另外假陰性的百分比為
P（Disease丨Negative）= ²⁰⁄₇₉₄₀ ≈ 0.25%，縱然上升了但仍算相當低。

相信各位讀者都能發現，一個檢測的結果有多可靠並非單憑其準確性決定。同樣是 99% 準確的檢測可以 ½ 機會送錯人去隔離， 同時亦可少於 3.9% 機會出錯，很受實際帶病人數影響。藉由分享這個故事， Nixon 希望讀者學懂兩件事：

1. 所有跟 A B 兩者的關聯性、涉及百分率的宣稱，以哪個因素作為基數、該基數對於樣本數是大是小，可以徹底改寫結果， 閱讀此類資料時不只要確認數據的真實性、採樣邊法是否可靠，更要留意該宣稱的計算方法。
2. 2. 單憑不完全（縱然正確）的消息，就算邏輯推論一切無誤，仍可得到錯誤的答案。 因此，在缺乏完整資訊的情況下，不宜太快下結論。舉例說，上文提及「若你的結果呈陰性，你99.999%真的健康」的說法， 不但只有在帶病者只佔樣本1%及檢測99%準確時才成立，亦忽略了不少實際因素譬如「該病可能有檢測不到的潛伏期」、 「收集及處理樣本的方法是否跟足指引」等。

讀者可在日常生活中多加留意廣告宣稱，慎防被誤導。例如：

ABC醫學美容中心
	95% 成功纖體客戶
使用了本中心「焦焦焦激光熔脂」療程
預約熱線 123-456

假如你朋友參加了它們的「焦焦焦激光熔脂」療程，你朋友成功纖體的機會是？

        A. 0.95

        B. 0.5

        C. 0.05

        D. 資料不足，無從得知

點我觀看解答

選D的朋友，恭喜你！你已掌握破解 Base Rate Fallacy 基本比率謬誤 的精髓。

希望您和我一樣喜歡本期專欄的內容，我們下期再見！

Nixon Chan
• 香港大學數學系榮譽畢業， 十年正式教學經驗
• 曾出版獲獎數學練習，現為英皇教育數學科名師
• 主力教授香港高中數學，兼教國際課程包括 IBDP、GCE(A-level)、SAT
• 教學宗旨為「沒有弱學生，只有錯方法」，熱衷鑽研「易學且有效」的解題法及計數機程式

文章來源《星島日報 教育版 專欄》- Nixon Chan