你和平常一樣走在回家的路上，見到不遠處聚集了一些群眾，很是熱鬧。「大概是街頭表演或 者宣傳活動吧？不理了我只想快點回家。」 身體加快了腳步，但目光還是禁不住好奇心下意識的投向 嘈音的來源。你看見一個街站、一個神態自若的男人，身邊有一群他的狂熱信眾，不斷重覆的叫嚷： 「64＝65！ 64＝65！ 64＝65！ 64＝65！」

        瘋了！簡直瘋了！早聽聞香港生活壓力大到能把人迫瘋，沒想到今天給我親眼看見，還這麼 多人！」當你正打算急步遠離這班瘋子之際，其中一名瘋子發現了你，一個箭步把你攔住。你本準備 開口叫救命，但見他衣冠楚楚，身上合身的恤衫燙得筆直，高挺的鼻梁架著一副無框眼鏡，他的目光 清澈而集中，身上微微散發着一股你不討厭的古龍水氣味，就在那零點5秒的反應時間，你決定姑且 見識一下他們的葫蘆賣什麼藥。

        這位文質彬彬的瘋子引領你到街站跟前，剛才坐著的男人收起了世不恭的笑容並拿出四塊拼 圖。他用溫柔而肯定的語氣問道：「你知道矩形、三角形、和梯形的面積計算方法嗎？」你輕點一下頭，他把拼圖拼成以下形狀：

「兩個三角形面積都是 3×8÷2=12 sq. units，兩個梯形面積都是 (3+5)×5÷2 = 20 sq. units， 拼成的正方形面積是12+12+20+20 或直接 8×8 = 64 sq. units。」你不假思索就回答，實在太簡單。

        「非常好。接下來我把這四塊拼圖稍為移動一下，這個新圖形的面積是多少？」

       「當然一樣是 64 sq. units吧，不然呢？」那個男人笑而不語。你察覺到不對勁，於是認真多 看一眼這個圖形：

「這個長方形的長度是 5+8，闊度是5，面積是13×5 = ... 65 sq. units？怎可能？這是甚麼回事？」

        男人依舊是那個表情，似乎對你的驚訝反應丁點也不覺得意外，亦不打算替你釋疑，就像看好 戲一樣端起他的咖啡，靜坐一旁觀賞着你的表演。

       「(3+5)×5÷2 = 20、3×8÷2=12、長方形面積是 20+12+12+20 = 64，但又等如 65 …」
       「5×(8+5) = 65 但又等於 64，是真的有可能嗎？」

       你口中唸唸有詞，腦袋瘋狂轉動，不斷來回驗算嘗試找出不妥之處，可惜一無所獲。

       「怎可能一個長方形的面積是 64 同時又是 65？這不科學！你到底藏起了什麼機關？」

未等男人反應你就把拼圖搶了拿在手上，但半天都未能發現任何異樣。正如你所見，它們只是兩對很 普通的直角三角形和梯形。

       經過不斷毫無進展的反覆思索，你發覺腦袋已被掏空，已經不能再想出任何可能性。不，還有 一個，一個你曾經認為只是瘋言瘋語，你絕不想承認的嶄新觀點：


       你視線開始往左右兩邊游移，這是尋求協助的眼神。可是你眼中只有一個場景：一個街站、一 個神態自若的男人，身邊有一群他的狂熱信眾，不斷重覆的叫嚷：64＝65！ 64＝6！ 64＝65！ 64 ＝65！ 在一片重疊叫喊聲籠罩中，忽然你靈光一閃！

       「原來如此！我早就該察覺到！這樣說來一切就講得通了！」你暗自讚嘆自己的聰明，在這個 關鍵的瞬間竟然發現了真相！你如獲至寶，提高嗓門準備大聲宣告，恨不得把所有蒙在鼓裏的蒼生喚 醒：


故事沒有結局，只是狂熱的人群多添了一個新成員。

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故事暫告一段落，讓我們回歸主題。
65當然 ≠ 64，聰明的讀者可能早已洞悉當中奧妙：        只要我們換上幼框線的圖案加上更仔細的方格線，很容易發現那個面積 65 長方形其實中間有 個罅隙沒有被填滿。因為梯形斜坡的 斜率(Slope) 是 ²⁄₅，三角形的則為³⁄₈ ，兩者 並不相等，那四塊 拼圖所組成的其實並非一個真正完整的長方形，而中間那個空間的面積正正就是 1 sq. unit 。這就是 Missing Square Puzzles 失蹤方形拼圖。

Q.1   Show that area of parallelogram ABCD is 1 sq. unit.
                證明平行四邊型 ABCD的面積是一平方單位。 Ans   計算這個平行四邊形面積的方法有很多。最快捷就是利用數學延伸部份 M2 的
                Determinant of a Matrix 矩陣的的行列式：

沒有修讀 M2 或有修卻都不懂得這方法的同學，用長方形減去該四個圖形面積當然都可以：


可是就這樣一個數學趣味分享未免太簡單。Nixon的數學專欄豈止如此？接下來才是主菜：

                1.     那個空隙能不能變更大或更小?
                2.     還有沒有更多類似的 Puzzle？
                3.     更進一步，我們能否自己創作 Missing Square Puzzles？







答案是 Yes! We can! 而製作 消失方形拼圖 的關鍵材料是 ......

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       這是 Fibonacci spiral 費波那契螺旋，圖中每個正方形的邊長都是 Fibonacci Numbers，能夠表達「連續兩項相加等於下一項」的關係，


而神奇地，， 例如 8² = 5×13 - 1、 13² = 8×21 + 1， 可理解成

    「邊長為 費氏數 的正方形的面積 與 長闊分別為 其前一個後一個費氏數的長方形的面積 相差 1」

       只要拼圖中 三角形的底、三角形的高＝梯形的上底、梯形的下底＝其高 是 連續的 Fibonacci Numbers， 我們便能創作屬於自己的 Missing Square Puzzle！

       如你所見，即使我特意選用沒有邊框的圖形，圖5b 長方形中間的空隙都已經幼到接近看不 見。選用的數字越大總面積將會更大但空隙面積永遠保持 1 sq. unit. 相對顯得更小；把圖案印出來製 作成實物拼圖的話基本上不可能憑肉眼察覺到空隙。這就是 Missing Square Puzzles 消失方形拼圖 秘密，原來再一次是神秘的 費波那契數 在作祟。筆者衷衷心鼓勵各位同學/家長/老師和你的朋友/子女/ 學生一起製作一個 屬於你們的消失方形拼圖，製作的過程既有趣又能學習數學，完成品更可以讓身邊 朋友大吃一驚，甚至教他們懷疑人生，高呼 64 = 65！

Nixon Chan
• 香港大學數學系榮譽畢業， 十年正式教學經驗
• 曾出版獲獎數學練習，現為英皇教育數學科名師
• 主力教授香港高中數學，兼教國際課程包括 IBDP、GCE(A-level)、SAT
• 教學宗旨為「沒有弱學生，只有錯方法」，熱衷鑽研「易學且有效」的解題法及計數機程式

文章來源《星島日報 教育版 專欄》- Nixon Chan